Determine se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando com as condições para integrabilidade ou dando um contra-exemplo, conforme o caso:
( ) Se
é integrável em [a,b], então f é contínua.
( ) Se
é limitada em [a,b], então f é integrável em [a,b].
( ) Se
é integrável em [a,b], então f é limitada.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de três afirmações envolvendo integrabilidade e continuidade ou limitada em
. Vamos usar o critério de Riemann que diz: “uma função
é Riemann-integrável se, e somente se,
é limitada e o conjunto de pontos de descontinuidade de
tem medida zero”. Também lembramos que, na definição de integral de Riemann, exige-se que
seja limitada.
Passo 2
Analisando a afirmação “Se
Ela é limitada e o conjunto de descontinuidades (os racionais) tem medida zero, logo , mas não é contínua nos pontos racionais.
Passo 3
Analisando a afirmação “Se
Ela é claramente limitada, mas é descontínua em todo ponto de não é Riemann-integrável.
Passo 4
Analisando a afirmação “Se
é integrável em
, então
é limitada.”
Isso é verdadeiro, porque a própria definição de integral de Riemann exige que seja limitada. Se
não for limitada, não faz sentido falar em somas de Darboux nem em aproximações por retângulos.
Isso é verdadeiro, porque a própria definição de integral de Riemann exige que
Resposta
(F)
(F)
(V)
(F)
(V)