Determine se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando com as condições para integrabilidade ou dando um contra-exemplo, conforme o caso:
( ) Se f é integrável em [a,b], então f é contínua.
( ) Se f é limitada em [a,b], então f é integrável em [a,b].
( ) Se f é integrável em [a,b], então f é limitada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de três afirmações envolvendo integrabilidade e continuidade ou limitada em [a,b]. Vamos usar o critério de Riemann que diz: “uma função fcolon[a,b]toR é Riemann-integrável se, e somente se, f é limitada e o conjunto de pontos de descontinuidade de f tem medida zero”. Também lembramos que, na definição de integral de Riemann, exige-se que f seja limitada.

Passo 2

Analisando a afirmação “Se
Ela é limitada e o conjunto de descontinuidades (os racionais) tem medida zero, logo , mas não é contínua nos pontos racionais.

Passo 3

Analisando a afirmação “Se
Ela é claramente limitada, mas é descontínua em todo ponto de não é Riemann-integrável.

Passo 4

Analisando a afirmação “Se f é integrável em [a,b], então f é limitada.”
Isso é verdadeiro, porque a própria definição de integral de Riemann exige que f seja limitada. Se f não for limitada, não faz sentido falar em somas de Darboux nem em aproximações por retângulos.

Resposta

(F)
(F)
(V)

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