Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x+y=11+e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que você apresentou:
dydx + y = 11 + e^x
Essa equação está no formato linear de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa EDO no formato padrão:
dydx + P(x) cdot y = Q(x)
Aqui, comparando com a nossa equação:
P(x) = 1 e Q(x) = 11 + e^x

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x)dx
Substituindo P(x) = 1 :
mu(x) = e^integral 1 , dx = e^x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^x :
e^x cdot dydx + e^x cdot y = e^x cdot 11 + e^x
Isso simplifica para:
ddx ( e^x cdot y ) = e^x1 + e^x
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo da equação na derivada do produto e^x cdot y .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a x :
integral ddx ( e^x cdot y ) dx = integral e^x1 + e^x dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^x cdot y . Para o lado direito, fazemos uma substituição simples:
Deixe u = 1 + e^x , então du = e^x dx . Assim:
integral e^x1 + e^x dx = integral 1u du = ln|u| + C = ln(1 + e^x) + C

Passo 6

Agora, temos:
e^x cdot y = ln(1 + e^x) + C
Para isolar y , dividimos ambos os lados por e^x :
y = ln(1 + e^x) + Ce^x
Podemos simplificar escrevendo:
y = e^-x cdot ln(1 + e^x) + C cdot e^-x

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = e^-x cdot ln(1 + e^x) + C cdot e^-x
onde C é a constante de integração.

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