Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(x^2+y) d x+(x+e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a EDO
(x^2+y),dx + (x+e^y),dy = 0
Este tipo de equação é da forma ,M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^2+y, N(x,y) = x + e^y
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y), partial Psipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integral (x^2+y),dx = x^33 + x,y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciamos Psi em relação a y e igualamos a N:
partial Psipartial y = x + h'(y) stackrel!= x + e^y Longrightarrow h'(y) = e^y
Integrando em y:
h(y) = e^y + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em Psi, obtemos a solução implícita geral
Psi(x,y) = x^33 + x,y + e^y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^33 + x,y + e^y = C

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