Identifique e esboce as cônicas a seguir:
2(x-1)^2+2(y+2)^2=5;

Passo 1

O enunciado apresenta a equação da cônica
2(x-1)^2+2(y+2)^2=5
e pede para identificá-la (tipo de cônica, centro, semi-eixos) e esboçá-la. O conteúdo aqui é reconhecimento de elipse (no caso especial círculo) em forma canônica.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 5 para obter a forma padrão:
2(x-1)^25+2(y+2)^25=1 Longrightarrow (x-1)^25/2+(y+2)^25/2=1

Passo 3

Na forma
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1
vemos que a^2=b^2=5/2 e que o centro é (h,k)=(1,-2). Como a=b, a cônica é um círculo de raio
a = b = raiztfrac52

Passo 4

Para ajudar no esboço, encontramos os pontos onde o círculo corta as retas x=1 e y=-2:
1. Em y=-2:
(x-1)^2=52; Longrightarrow;
x=1pmraiz52. 2. Em x=1:
(y+2)^2=52; Longrightarrow;
y=-2pmraiz52.
São quatro pontos-chave:
l(1pmraiz52,,-2r) e l(1,,-2pmraiz52r).

Passo 5

Esboço (descrevendo):
– Marque o ponto C=(1,-2).
– A partir dele, desenhe um círculo de raio raiz5/2approx1,58.
– Verifique que ele passa por
(1pm1,58,,-2) e (1,,-2pm1,58).
Os eixos do círculo são paralelos aos eixos coordenados.

Resposta

A cônica é um círculo de centro (1,-2) e raio raiztfrac52. O esboço corresponde a esse círculo centrado em (1,-2), cortando o eixo horizontal em x=1pmraiz5/2 e o eixo vertical em y=-2pmraiz5/2.

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