Determine o valor médio de f e determine o xi tal que f(xi) é o valor médio.
f(x)=sen x em [-pi, pi]

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x)=sin x no intervalo [-pi,pi] e um ponto xi em que f(xi) seja esse valor médio. O conteúdo usado será a definição de valor médio de uma função contínua e o Teorema do Valor Médio para Integrais.

Passo 2

Calculamos a integral
integral-pi^pisin x,dx
Como sin x é função ímpar, a área de -pi a 0 cancela a área de 0 a pi. Alternativamente:
integral-pi^pisin x,dx =l[-cos xr]-pi^pi =l(-cospir)-l(-cos(-pi)r) =(-(-1))-(-(-1))=1-1=0

Passo 3

Pela definição, o valor médio f é
f =1pi-(-pi)integral-pi^pisin x,dx =12picdot 0 =0

Passo 4

O Teorema do Valor Médio para Integrais garante que existe xiin[-pi,pi] tal que
f(xi)=f=0
Logo resolvemos
sinxi=0Longrightarrowxi=kpi,;kinZ
No intervalo [-pi,pi] as soluções são xi=-pi,0,pi. Um ponto interior típico é xi=0.

Resposta

O valor médio de f em [-pi,pi] é 0, e um ponto xi que atinge esse valor é xi=0.

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