Determine a separação entre dois máximos vizinhos, perto do centro de uma figura de interferência que aparece em uma tela vertical, devido a interferência de duas ondas difratadas com origem em duas fendas verticais que distam 0,14 \mathrm{~mm} entre elas. A distancia horizontal entre as fendas e a tela da figura de interferência é 60 cm . Dado feixe de luz original comprimento de onda de 550 nm . Adote ângulo do feixe difratado pequeno

Passo 1

O enunciado pede a separação entre dois máximos vizinhos (ou seja, o espaçamento entre franjas adjacentes) perto do centro de uma figura de interferência produzida por duas fendas verticais. Dados fornecidos:
d = 0,14\\ \mathrm{mm} = 0,14\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
L = 60\\ \mathrm{cm} = 0,60\\ \mathrm{m}
\lambda = 550\\ \mathrm{nm} = 550\times10^{-9}\\ \mathrm{m}
Também foi indicado: adote ângulo do feixe difratado pequeno (ou seja, aprox. de pequeno ângulo).
A partir disso queremos calcular a distância entre máximos vizinhos na tela, medida ao longo da direção vertical (perpendicular à linha entre fendas e ao comprimento das fendas).

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (explicada passo a passo).
Quando duas fendas produzem interferência, os máximos de intensidade ocorrem quando a diferença de percurso entre as ondas que vêm das duas fendas é um múltiplo inteiro de \lambda. Isso se escreve:
d\,\sin\theta = m\,\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as fendas,
  • \theta é o ângulo (em relação à normal à tela) no qual aparece o máximo de ordem m,
  • m é um inteiro (0, \pm1, \pm2, …), indicando a ordem do máximo.
    Explicando: a diferença de caminho geométrica para raios que chegam sob ângulo \theta é aproximadamente d\sin\theta; quando isso é igual a m\lambda as cristas chegam em fase e reforçam, formando um máximo.

Passo 3

Ligando o ângulo \theta à posição na tela.
A posição vertical y de um máximo de ordem m na tela, medida a partir do centro (máximo m=0), está relacionada com o ângulo por:
\tan\theta = \frac{y}{L},
onde L é a distância fendas–tela. Para ângulos pequenos usamos as aproximações:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta \approx \frac{y}{L}.
Substituindo \sin\theta\approx y/L na condição de máximos obtemos
d\,\frac{y_m}{L} \approx m\,\lambda \quad\Rightarrow\quad y_m \approx \frac{m\,\lambda\,L}{d}.
A separação entre máximos vizinhos (por exemplo entre m e m+1) é:
\Delta y = y_{m+1}-y_m \approx \frac{(m+1)\lambda L}{d} - \frac{m\lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}.
Portanto a expressão prática e muito usada para o espaçamento de franjas é
\boxed{\Delta y = \frac{\lambda\,L}{d}.}
Explicando em palavras: cada vez que m aumenta em 1, a posição na tela aumenta de uma quantidade fixa \lambda L/d; assim as franjas são espaçadas regularmente por esse valor (quando o ângulo é pequeno).

Passo 4

Conversão de unidades e preparação para calcular numericamente.
Vamos colocar todos os valores em metros dentro das fórmulas (todo número em notação TeX):
\lambda = 550\times10^{-9}\\ \mathrm{m},\qquad L = 0,60\\ \mathrm{m},\qquad d = 0,14\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo numérico do espaçamento \Delta y.
Primeiro calculemos o produto \lambda L:
\lambda L = \left(550\times10^{-9}\right)\times0,60 = 330\times10^{-9} = 3{,}30\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora dividimos por d:
\Delta y = \frac{3{,}30\times10^{-7}}{0{,}14\times10^{-3}} = \frac{3{,}30\times10^{-7}}{1{,}4\times10^{-4}}.
Realizando a divisão:
\Delta y = \left(\frac{3{,}30}{1{,}4}\right)\times10^{-3} \approx 2{,}357142857\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
\Delta y \approx 2{,}357\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}357\\ \mathrm{mm}.
Arredondando com precisão razoável (duas casas decimais em mm):
\Delta y \approx 2{,}36\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Verificação da hipótese de pequeno ângulo (confirmação).
Estimativa do ângulo da franja principal usando \theta\approx \Delta y/L:
\theta \approx \frac{2{,}357\times10^{-3}}{0{,}60} \approx 3{,}93\times10^{-3}\\ \mathrm{rad}.
Convertendo para graus: 3{,}93\times10^{-3}\times\frac{180}{\pi}\approx0{,}225^\circ. Isso é muito pequeno, logo a aproximação \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta é válida e a fórmula usada é adequada.

Passo 7

Dica prática para a prova (como usar em outras questões semelhantes).
  • Sempre passe tudo para unidades do SI antes de calcular.
  • Identifique d, L e \lambda.
  • Use \Delta y=\lambda L/d quando o ângulo for pequeno; se não for pequeno, teria que usar \sin\theta = m\lambda/d e y=L\tan\theta e resolver numericamente para \theta.
  • Exemplo rápido: se d fosse o dobro, o espaçamento \Delta y cairia pela metade; se L dobrasse, \Delta y dobraria.

Resposta

2{,}36\\ \mathrm{mm}

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