Exercício 9.3 Para detectar uma onda eletromagnética plana que está chegando, nós observamos uma partícula carregada simples que começa em repouso e é livre para mover-se apenas no plano x y. Se observarmos a partícula oscilar ao longo do eixo y, sem qualquer movimento ao longo do eixo x, o que podemos dizer da direção dos campos elétrico e magnético e da direção de propagação da onda?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informações dadas:
    • Uma partícula carregada, de carga \,q, começa em repouso.
    • A partícula é livre para mover-se apenas no plano x y (ou seja, não pode deslocar-se na direção z).
    • Observa-se que a partícula oscila apenas ao longo do eixo y — não há qualquer movimento ao longo do eixo x.
  • Pergunta do enunciado:
    • Com base nessa observação, o que podemos dizer sobre a direção do campo elétrico, sobre a direção do campo magnético e sobre a direção de propagação da onda eletromagnética plana que chega?

Passo 2

Vamos começar lembrando a força que age sobre uma partícula carregada em campos eletromagnéticos. A fórmula que descreve essa força é a lei de Lorentz:
\mathbf{F} = q\bigl(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
Expliquei cada símbolo:
  • \mathbf{F} é a força resultante sobre a partícula (vetor).
  • q é a carga elétrica da partícula (um número, pode ser positivo ou negativo).
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor).
  • \mathbf{v} é a velocidade da partícula (vetor).
  • \mathbf{B} é o campo magnético (vetor).
    A parte q\mathbf{E} é a força elétrica direta; a parte q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) é a força magnética, que depende de \mathbf{v}.

Passo 3

Usemos a condição inicial: a partícula começa em repouso, isto é \mathbf{v}=\mathbf{0} no instante inicial. Substituindo na fórmula da força, no instante inicial a força é apenas
\mathbf{F}_{\text{inicial}} = q\mathbf{E},
porque \mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0} quando \mathbf{v}=\mathbf{0}. Logo, o primeiro impulso que faz a partícula oscilar vem do campo elétrico. Como a partícula começa a se mover somente ao longo do eixo y (nenhum componente inicial em x), o campo elétrico não pode ter componente em x. Portanto, o campo elétrico deve estar alinhado com o eixo y; em notação:
\mathbf{E}(t)\\ \text{está na direção}\\ \pm \hat{\mathbf{y}}.áçã
Em palavras: o campo elétrico é polarizado ao longo de y.

Passo 4

Até aqui já sabemos que \mathbf{E} está ao longo de y. Agora precisamos verificar que isso não gerará movimento em x em todos os instantes — ou seja, mesmo quando a partícula já estiver tendo velocidade \mathbf{v} (principalmente uma componente v_y), não deve haver força resultante ao longo de x.
Escrevamos a velocidade e o campo magnético em componentes:
\mathbf{v} = v_x\hat{\mathbf{x}} + v_y\hat{\mathbf{y}} + v_z\hat{\mathbf{z}},\qquad \mathbf{B} = B_x\hat{\mathbf{x}} + B_y\hat{\mathbf{y}} + B_z\hat{\mathbf{z}}.
Pelo enunciado a partícula se mantém no plano xy, então v_z=0 sempre. Observamos também que não há movimento em x, então v_x=0 sempre. Assim, \mathbf{v} = v_y\hat{\mathbf{y}} durante a oscilação.

Passo 5

Calcule agora a componente x da força magnética q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}). O produto vetorial tem, para a componente x,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_x = v_y B_z - v_z B_y.
Como lembrado, v_z=0. Portanto
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_x = v_y B_z.
Se tivéssemos B_z\neq 0 e v_y\neq 0, haveria uma força magnética com componente não nula em x, que obrigaria a partícula a adquirir movimento em x. Mas o enunciado diz que não há movimento em x. Para evitar qualquer componente de força em x para todo instante em que v_y\neq0, precisamos de
B_z = 0.
Portanto o campo magnético não pode ter componente na direção z.

Passo 6

Já estabelecemos:
  • \mathbf{E} está na direção y, isto é \mathbf{E}\parallel\hat{\mathbf{y}};
  • \mathbf{B} tem B_z=0, ou seja \mathbf{B} está contido no plano xy.
Além disso, em uma onda eletromagnética plana em espaço livre os campos \mathbf{E} e \mathbf{B} são perpendiculares entre si (a onda é transversal). Como \mathbf{E} está ao longo de \hat{\mathbf{y}}, o campo magnético não pode ter componente em y. Juntando isso com B_z=0, a única possibilidade restante é:
\mathbf{B}\\ \text{está ao longo de}\\ \pm \hat{\mathbf{x}}.á
Em palavras: o campo magnético está na direção x.
(Esta escolha elimina qualquer componente magnética que criaria força em x. Note que com \mathbf{B}\parallel\hat{\mathbf{x}} a força magnética sobre a velocidade v_y\hat{\mathbf{y}} será dirigida para z, e não para x.)

Passo 7

Agora deduzimos a direção de propagação da onda. Em uma onda eletromagnética plana em vácuo, os vetores \mathbf{E}, \mathbf{B} e o vetor de propagação \mathbf{k} são mutuamente perpendiculares, e a direção de \mathbf{k} é dada pela regra da mão direita com o produto vetorial
\mathbf{k}\\ \text{(direção)} \propto \mathbf{E}\times\mathbf{B}.çã
Tomando \mathbf{E} ao longo de \hat{\mathbf{y}} e \mathbf{B} ao longo de \hat{\mathbf{x}}, obtemos
\mathbf{E}\times\mathbf{B} = \hat{\mathbf{y}}\times\hat{\mathbf{x}} = -\hat{\mathbf{z}}.
Portanto, com essas escolhas o vetor de propagação aponta na direção -\hat{\mathbf{z}} (isto é, ao longo do eixo z, sentido negativo). Se em vez disso \mathbf{B} fosse -\hat{\mathbf{x}} (troca de sinal de \mathbf{B}), então \mathbf{E}\times\mathbf{B} apontaria para +\hat{\mathbf{z}}. Ou seja, o sentido ( +z ou -z) depende do sinal relativo de \mathbf{B}, mas o eixo de propagação é o eixo z, perpendicular ao plano xy.

Passo 8

Resumo físico intuitivo (sem fórmulas pesadas): a partícula só oscila em y porque o campo elétrico age na direção y. Para que a força magnética não empurre a partícula em x durante a oscilação (quando ela tem velocidade em y), o campo magnético não pode ter componente em z; combinado com a condição de que \mathbf{E}\perp\mathbf{B}, isso força \mathbf{B} a estar ao longo de x. Assim a onda viaja perpendicular ao plano xy, ou seja ao longo do eixo z (o sentido +z ou -z depende do sinal relativo entre \mathbf{E} e \mathbf{B}).

Resposta

O campo elétrico está ao longo de \hat{\mathbf{y}} (polarização em y).
O campo magnético está ao longo de \pm\hat{\mathbf{x}} (perpendicular a \mathbf{E} e ao plano xy).
A direção de propagação é ao longo de \pm\hat{\mathbf{z}} (perpendicular ao plano xy); especificamente \mathbf{k}\propto\mathbf{E}\times\mathbf{B}.

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