Exercício 9.3 Para detectar uma onda eletromagnética plana que está chegando, nós observamos uma partícula carregada simples que começa em repouso e é livre para mover-se apenas no plano
. Se observarmos a partícula oscilar ao longo do eixo
, sem qualquer movimento ao longo do eixo
, o que podemos dizer da direção dos campos elétrico e magnético e da direção de propagação da onda?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
-
Informações dadas:
- Uma partícula carregada, de carga
, começa em repouso. - A partícula é livre para mover-se apenas no plano
(ou seja, não pode deslocar-se na direção ). - Observa-se que a partícula oscila apenas ao longo do eixo
— não há qualquer movimento ao longo do eixo .
- Uma partícula carregada, de carga
-
Pergunta do enunciado:
- Com base nessa observação, o que podemos dizer sobre a direção do campo elétrico, sobre a direção do campo magnético e sobre a direção de propagação da onda eletromagnética plana que chega?
Passo 2
Vamos começar lembrando a força que age sobre uma partícula carregada em campos eletromagnéticos. A fórmula que descreve essa força é a lei de Lorentz:
Expliquei cada símbolo:
-
é a força resultante sobre a partícula (vetor). -
é a carga elétrica da partícula (um número, pode ser positivo ou negativo). -
é o campo elétrico (vetor). -
é a velocidade da partícula (vetor). -
é o campo magnético (vetor).
A parteé a força elétrica direta; a parte é a força magnética, que depende de .
Passo 3
Usemos a condição inicial: a partícula começa em repouso, isto é
no instante inicial. Substituindo na fórmula da força, no instante inicial a força é apenas
porque
quando
. Logo, o primeiro impulso que faz a partícula oscilar vem do campo elétrico. Como a partícula começa a se mover somente ao longo do eixo
(nenhum componente inicial em
), o campo elétrico não pode ter componente em
. Portanto, o campo elétrico deve estar alinhado com o eixo
; em notação:
Em palavras: o campo elétrico é polarizado ao longo de
.
Passo 4
Até aqui já sabemos que
está ao longo de
. Agora precisamos verificar que isso não gerará movimento em
em todos os instantes — ou seja, mesmo quando a partícula já estiver tendo velocidade
(principalmente uma componente
), não deve haver força resultante ao longo de
.
Escrevamos a velocidade e o campo magnético em componentes:
Pelo enunciado a partícula se mantém no plano
, então
sempre. Observamos também que não há movimento em
, então
sempre. Assim,
durante a oscilação.
Passo 5
Calcule agora a componente
da força magnética
. O produto vetorial tem, para a componente
,
Como lembrado,
. Portanto
Se tivéssemos
e
, haveria uma força magnética com componente não nula em
, que obrigaria a partícula a adquirir movimento em
. Mas o enunciado diz que não há movimento em
. Para evitar qualquer componente de força em
para todo instante em que
, precisamos de
Portanto o campo magnético não pode ter componente na direção
.
Passo 6
Já estabelecemos:
-
está na direção , isto é ; -
tem , ou seja está contido no plano .
Além disso, em uma onda eletromagnética plana em espaço livre os campos
e
são perpendiculares entre si (a onda é transversal). Como
está ao longo de
, o campo magnético não pode ter componente em
. Juntando isso com
, a única possibilidade restante é:
Em palavras: o campo magnético está na direção
.
(Esta escolha elimina qualquer componente magnética que criaria força em
. Note que com
a força magnética sobre a velocidade
será dirigida para
, e não para
.)
Passo 7
Agora deduzimos a direção de propagação da onda. Em uma onda eletromagnética plana em vácuo, os vetores
,
e o vetor de propagação
são mutuamente perpendiculares, e a direção de
é dada pela regra da mão direita com o produto vetorial
Tomando
ao longo de
e
ao longo de
, obtemos
Portanto, com essas escolhas o vetor de propagação aponta na direção
(isto é, ao longo do eixo
, sentido negativo). Se em vez disso
fosse
(troca de sinal de
), então
apontaria para
. Ou seja, o sentido (
ou
) depende do sinal relativo de
, mas o eixo de propagação é o eixo
, perpendicular ao plano
.
Passo 8
Resumo físico intuitivo (sem fórmulas pesadas): a partícula só oscila em
porque o campo elétrico age na direção
. Para que a força magnética não empurre a partícula em
durante a oscilação (quando ela tem velocidade em
), o campo magnético não pode ter componente em
; combinado com a condição de que
, isso força
a estar ao longo de
. Assim a onda viaja perpendicular ao plano
, ou seja ao longo do eixo
(o sentido
ou
depende do sinal relativo entre
e
).
Resposta
O campo elétrico está ao longo de
(polarização em
).
O campo magnético está ao longo de (perpendicular a
e ao plano
).
A direção de propagação é ao longo de (perpendicular ao plano
); especificamente
.
O campo magnético está ao longo de
A direção de propagação é ao longo de