Os dois feixes de luz do mesmo slide da questão anterior , se propagam em fase, com a mesma amplitude e comprimento de onda igual a 500 nm antes de atingir os meios 1 e 2 . admitindo que os índices de refração desses dois meios são respectivamente iguais a 1,2 e 1,6 e que as espessuras atravessadas pelos eixes é de 2,4 \mu \mathrm{~m}. Determine a diferença de fase entre os dois feixes que saem dos meios 1 e 2 . Após passar pelos dois materiais a interferência entre os feixes será construtiva ou destrutiva, parcial ou total? Explique.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados:
    • Os dois feixes chegam em fase e têm mesma amplitude antes de entrarem nos meios.
    • Comprimento de onda no vácuo (ou ar): \lambda = 500\\ \mathrm{nm}.
    • Índices de refração: n_1 = 1,2 e n_2 = 1,6.
    • Espessura atravessada por cada feixe: d = 2,4\\ \mu\mathrm{m}.
  • Perguntas:
    1. Determinar a diferença de fase entre os dois feixes quando saem dos meios 1 e 2.
    2. Depois de passarem pelos dois materiais, a interferência entre os feixes será construtiva ou destrutiva, parcial ou total? Justifique.

Passo 2

Conceito importante — caminho óptico e diferença de fase (aula rápida e prática).
  • Quando uma onda percorre um meio com índice de refração n e espessura d, o chamado caminho óptico (OPL, optical path length) é \text{OPL}=n\,d. Isso mede quantas “comprimentos de onda no vácuo” equivalem ao percurso no meio.
  • A diferença de caminho óptico entre dois trajetos é \Delta\text{OPL} = n_2 d_2 - n_1 d_1. No nosso caso os espessores são iguais ( d_1=d_2=d), então \Delta\text{OPL}=(n_2-n_1)\,d.
  • A diferença de fase associada a uma diferença de caminho óptico é dada por \Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta\text{OPL}}{\lambda}.Aqui:
    • \Delta\varphi é a diferença de fase em radianos,
    • \Delta\text{OPL} tem as mesmas unidades que \lambda (por isso convertemos unidades),
    • \lambda é o comprimento de onda no vácuo (ou no mesmo meio de referência do dado).

Passo 3

Converter unidades para calcular sem erro.
  • d = 2,4\\ \mu\mathrm{m} = 2{,}4\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}. Como \lambda foi dado em \mathrm{nm}, é prático trabalhar em \mathrm{nm}: d = 2{,}4\\ \mu\mathrm{m} = 2400\\ \mathrm{nm}.
  • Diferença de índices: \Delta n = n_2 - n_1 = 1{,}6 - 1{,}2 = 0{,}4.

Passo 4

Calcular a diferença de caminho óptico \Delta\text{OPL}.
  • Usando \Delta\text{OPL}=\Delta n \cdot d: \Delta\text{OPL} = 0{,}4 \times 2400\\ \mathrm{nm} = 960\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Calcular a diferença de fase \Delta\varphi (substituindo na fórmula).
  • Aplicando \Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta\text{OPL}}{\lambda} = 2\pi\frac{960}{500}.
  • Simplificando: \Delta\varphi = 2\pi \times 1{,}92 = 3{,}84\pi\\ \text{rad}.
  • Valor numérico aproximado: \Delta\varphi \approx 3{,}84\pi \approx 12{,}07\\ \text{rad}.
  • Para interpretar interferência é útil reduzir \Delta\varphi módulo 2\pi: \Delta\phi_{\bmod 2\pi} = 3{,}84\pi - 2\pi = 1{,}84\pi \approx 5{,}78\\ \text{rad}.

Passo 6

Condições de interferência (explicação didática) e aplicação numérica.
  • Regras rápidas:
    • Interferência totalmente construtiva (máximo absoluto) acontece quando \Delta\varphi = 2m\pi ( m inteiro).
    • Interferência totalmente destrutiva (mínimo absoluto, anulação completa) acontece quando \Delta\varphi = (2m+1)\pi.
    • Se \Delta\varphi não for exatamente um múltiplo de \pi nos casos acima, temos interferência parcial (nem máximo nem nulificação total).
  • No nosso caso \Delta\varphi = 3{,}84\pi. Isso não é igual nem a um 2m\pi nem a um (2m+1)\pi exato, portanto não será total (nem totalmente construtiva nem totalmente destrutiva).
  • Para quantificar quão construtiva é, usamos a fórmula para duas ondas de mesma amplitude e co-fase inicial:
    • Intensidade de cada feixe: I_0.
    • Intensidade resultante: I_{\text{total}} = 2I_0\bigl(1+\cos\Delta\varphi\bigr)(ou equivalentemente I_{\text{total}}=4I_0\cos^2(\tfrac{\Delta\varphi}{2})).
  • Calculemos \cos\Delta\varphi. Uma maneira prática é usar o valor reduzido: \cos\Delta\varphi = \cos(3{,}84\pi) = \cos(3{,}84\pi - 4\pi) = \cos(-0{,}16\pi) = \cos(0{,}16\pi).Numérico: 0{,}16\pi \approx 0{,}50265 rad, então \cos(0{,}16\pi)\approx 0{,}8776.
  • Assim I_{\text{total}} = 2I_0(1+0{,}8776) \approx 2I_0 \times 1{,}8776 \approx 3{,}7552\,I_0.Ou usando a outra forma: I_{\text{total}} \approx 4I_0\cos^2\!\bigl(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\bigr) \approx 3{,}76\,I_0,(números arredondados; ambos dão o mesmo resultado dentro do arredondamento).
  • Comparação com máximo possível:
    • Máximo absoluto (totalmente construtivo) seria I_{\max}=4I_0.
    • Aqui I_{\text{total}}\approx 3{,}76\,I_0 < 4I_0, logo é uma interferência predominantemente construtiva, porém não total — portanto “parcialmente construtiva”.

Passo 7

Observações finais e hipótese sobre amplitudes:
  • O enunciado diz que as amplitudes iniciais eram iguais e não menciona perdas ou inversões de fase ao atravessar os meios. Então assumimos que não ocorreram inversões nem atenuações relevantes; com isso a análise acima vale.
  • Se houvesse reflexão com inversão de fase em alguma superfície ou absorção diferencial, teríamos que considerar isso e o resultado poderia mudar. Mas com os dados dados, a conclusão é a apresentada.

Resposta

\Delta\varphi = 3{,}84\pi\\ \text{rad} \approx 12{,}07\\ \text{rad} (\text{equivalente a }1{,}84\pi\\ \text{rad}\\ \bmod 2\pi).
A interferência será parcialmente construtiva (predominantemente construtiva, não total), pois \Delta\varphi não é um múltiplo inteiro de 2\pi nem um múltiplo ímpar de \pi; o intensidade resultante é aproximadamente 3{,}76\,I_{0} (com I_0 a intensidade de cada feixe).

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