Determine se a sequencia abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, calcule o seu limite.
an=2^n-13^n+2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por an = 2^n-13^n+2 e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, também é preciso achar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente lidando com potências e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o trabalho. A sequência é an = 2^n-13^n+2 . Podemos reescrever os expoentes para separar os fatores constantes:
an = 2^n cdot 2^-13^n cdot 3^2 = 2^n3^n cdot 12 cdot 9 = ( 23 )^n cdot 118

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo ( 23 )^n . Sabemos que quando temos uma base menor que 1 elevada a uma potência que tende ao infinito, o resultado tende a zero. Aqui, 23 é menor que 1, então ( 23 )^n tende a zero conforme n cresce.

Passo 4

Multiplicando esse resultado por 118 , que é uma constante, o limite da sequência é:
limn to infty an = ( 23 )^n cdot 118 = 0 cdot 118 = 0

Resposta

A sequência an = 2^n-13^n+2 converge e o seu limite é 0.

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