Determine se a sequencia abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, calcule o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa achar o limite dela. Vamos usar conceitos de teoria das sequências e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge quando seus termos ficam cada vez mais próximos de um número específico, chamado de limite, conforme
cresce. Se isso não acontece, a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função seno. A função
é periódica, com período
, o que significa que ela se repete a cada
unidades. Além disso, seus valores oscilam entre -1 e 1 para qualquer valor de
.
Passo 4
No nosso caso, temos
. Conforme
aumenta,
também aumenta sem limites. Isso significa que o argumento do seno está passando por todas as fases do ciclo do seno repetidamente.
Passo 5
Como
continua oscilando entre -1 e 1 sem se fixar em nenhum valor específico à medida que
cresce, não há um único número que a sequência está se aproximando.
Passo 6
Portanto, já que os termos da sequência não se estabilizam em um único valor, podemos concluir que a sequência
não converge.
Resposta
A sequência diverge.