Determine se a sequencia abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, calcule o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite dessa sequência. Para isso, vamos precisar falar um pouquinho sobre limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas, especialmente a função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge se, conforme
fica cada vez maior, os termos da sequência se aproximam de um número fixo, que chamamos de limite. No nosso caso, à medida que
aumenta,
tende a zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dentro do cosseno:
. Como
vai para o infinito,
vai para zero. Então, estamos interessados em saber o que acontece com
quando
tende a zero.
Passo 4
Sabemos que
e que a função cosseno é contínua. A continuidade da função nos permite trocar o limite com a função. Ou seja:
Passo 5
Calculando o limite dentro do cosseno:
Portanto:
Resposta
A sequência
converge para 1.