Determine se a sequencia abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, calcule o seu limite.
an=cos (3n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a sequência an = cos( 3n ) converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite dessa sequência. Para isso, vamos precisar falar um pouquinho sobre limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas, especialmente a função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge se, conforme n fica cada vez maior, os termos da sequência se aproximam de um número fixo, que chamamos de limite. No nosso caso, à medida que n aumenta, 3n tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dentro do cosseno: 3n . Como n vai para o infinito, 3n vai para zero. Então, estamos interessados em saber o que acontece com cos(x) quando x tende a zero.

Passo 4

Sabemos que cos(0) = 1 e que a função cosseno é contínua. A continuidade da função nos permite trocar o limite com a função. Ou seja:
limn to infty cos( 3n ) = cos( limn to infty 3n )

Passo 5

Calculando o limite dentro do cosseno:
limn to infty 3n = 0
Portanto:
cos( limn to infty 3n ) = cos(0) = 1

Resposta

A sequência an = cos( 3n ) converge para 1.

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