Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos que analisar se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Observamos que a série tem o termo , o que indica que é uma série alternada. Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo (positivo para negativo e vice-versa).
Passo 3
Vamos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
Os termos são positivos, ou seja, .
A sequência é decrescente e tende a zero conforme aumenta.
Passo 4
Identificamos os da nossa série:
Primeiro, precisamos verificar se . Como é positivo para todo e o denominador também é positivo, temos que .
Passo 5
Agora, vamos verificar se é decrescente e tende a zero quando .
Tendência a zero:
Sabemos que tende a conforme cresce, ou seja:
Portanto:
Decrescente:
O denominador cresce mais rápido que o numerador , que está se aproximando de um valor constante. Assim, à medida que aumenta, diminui.
Passo 6
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os são positivos, decrescentes e tendem a zero), concluímos que a série original converge.
Passo 7
Para saber se a convergência é absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Como tan^-1(n) <= pi2 para todo n, temos:
tan^-1(n)1 + n^2 <= pi/21 + n^2
Sabemos que a série
sumn=0^infty 11 + n^2
é convergente (é similar a uma série p com p=2 > 1). Pelo Teste da Comparação, nossa série de valores absolutos também converge.