Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=0^infty(-1)^n tan ^-1(n)1+n^2

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos que analisar se a série infinita
sumn=0^infty (-1)^n tan^-1(n)1 + n^2
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Observamos que a série tem o termo (-1)^n, o que indica que é uma série alternada. Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo (positivo para negativo e vice-versa).

Passo 3

Vamos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
sum (-1)^n bn
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn são positivos, ou seja, bn > 0.
  2. A sequência bn é decrescente e tende a zero conforme n aumenta.

Passo 4

Identificamos os bn da nossa série:
bn = tan^-1(n)1 + n^2
Primeiro, precisamos verificar se bn > 0. Como tan^-1(n) é positivo para todo n >= 0 e o denominador 1 + n^2 também é positivo, temos que bn > 0.

Passo 5

Agora, vamos verificar se bn é decrescente e tende a zero quando n infty.
  • Tendência a zero:
    Sabemos que tan^-1(n) tende a pi2 conforme n cresce, ou seja:
limn to infty tan^-1(n) = pi2
Portanto:
limn to infty bn = limn to infty tan^-1(n)1 + n^2 = pi/2infty = 0
  • Decrescente:
    O denominador 1 + n^2 cresce mais rápido que o numerador tan^-1(n), que está se aproximando de um valor constante. Assim, à medida que n aumenta, bn diminui.

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os bn são positivos, decrescentes e tendem a zero), concluímos que a série original converge.

Passo 7

Para saber se a convergência é absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=0^infty | (-1)^n tan^-1(n)1 + n^2 | = sumn=0^infty tan^-1(n)1 + n^2
Como tan^-1(n) <= pi2 para todo n, temos:
tan^-1(n)1 + n^2 <= pi/21 + n^2
Sabemos que a série
sumn=0^infty 11 + n^2
é convergente (é similar a uma série p com p=2 > 1). Pelo Teste da Comparação, nossa série de valores absolutos também converge.

Resposta

A série
sumn=0^infty (-1)^n tan^-1(n)1 + n^2
converge absolutamente.

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