Determine se a sequência (a_n)_{n ∈ N} converge ou diverge.
a_n = (1 + 1/(3 n))^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é determinar se a sequência converge ou diverge. Isso pertence ao estudo de limites de sequências, onde a gente analisa o comportamento de uma sequência conforme vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e talvez algumas propriedades da exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender melhor a sequência. A expressão lembra a famosa definição do número , que é dada por . A diferença aqui é que temos em vez de . Isso nos dá a ideia de que podemos relacionar essa sequência com a definição de ajustando o denominador.

Passo 3

Vamos manipular a expressão para torná-la semelhante à definição de . Observe que:
Aqui, elevamos e reduzimos a potência para facilitar a comparação com a definição de .

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando tende ao infinito:
Usei a definição de no passo intermediário, onde .

Resposta

A sequência converge para .

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