Seja a sequência de termo n-ésimo a_n = 4/n^3. Usando a monotonia da sequência dada verifique se ela é limitada.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a sequência cujo termo geral é . Precisamos verificar se essa sequência é limitada, usando a monotonia da sequência.
Para isso, iremos utilizar os conceitos de monotonia (se a sequência é crescente ou decrescente) e sequências limitadas (que possuem limites superior e inferior).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar se a sequência é crescente ou decrescente.
Para isso, comparamos o termo com o termo :
Agora, observamos que:
Isso ocorre porque, conforme aumenta, o denominador fica maior, fazendo com que seja menor que . Portanto, a sequência é decrescente.

Passo 3

Agora que sabemos que a sequência é decrescente, vamos verificar se ela é limitada.
Uma sequência é limitada se existe um número que seja maior ou igual a todos os seus termos (limite superior) e um número que seja menor ou igual a todos os seus termos (limite inferior).

Passo 4

Vamos encontrar o limite superior da sequência. Como a sequência é decrescente, o primeiro termo é o maior. Portanto:
Assim, o limite superior é 4.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o limite inferior. Observamos que à medida que cresce, se aproxima de zero:
Além disso, para todo , . Portanto, o limite inferior é 0.

Resposta

A sequência é decrescente e está limitada entre 0 e 4.

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