Seja a sequência de termo
-ésimo
. Usando a monotonia da sequência dada verifique se ela é limitada.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos a sequência cujo termo geral é
. Precisamos verificar se essa sequência é limitada, usando a monotonia da sequência.
Para isso, iremos utilizar os conceitos de monotonia (se a sequência é crescente ou decrescente) e sequências limitadas (que possuem limites superior e inferior).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar se a sequência
é crescente ou decrescente.
Para isso, comparamos o termo
com o termo
:
Agora, observamos que:
Isso ocorre porque, conforme
aumenta, o denominador
fica maior, fazendo com que
seja menor que
. Portanto, a sequência é decrescente.
Passo 3
Agora que sabemos que a sequência é decrescente, vamos verificar se ela é limitada.
Uma sequência é limitada se existe um número que seja maior ou igual a todos os seus termos (limite superior) e um número que seja menor ou igual a todos os seus termos (limite inferior).
Passo 4
Vamos encontrar o limite superior da sequência. Como a sequência é decrescente, o primeiro termo é o maior. Portanto:
Assim, o limite superior é 4.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o limite inferior. Observamos que à medida que
cresce,
se aproxima de zero:
Além disso, para todo
,
. Portanto, o limite inferior é 0.
Resposta
A sequência
é decrescente e está limitada entre 0 e 4.