Verifique que valem as identidades a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a integral de
realmente é igual a
. Para isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando estamos integrando o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser
e qual vai ser
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. É uma boa ideia escolher
porque a derivada de
é mais simples de trabalhar. Então:
Passo 4
Agora, o que sobra é
. Como estamos integrando apenas
, podemos pensar em multiplicar por 1, ou seja:
Passo 5
Com
,
,
e
definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 6
Simplificando a integral que ficou:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto,
está correta.