Verifique que valem as identidades a seguir: integral ln (x) d x=x ln (x)-x.

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a integral de realmente é igual a . Para isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando estamos integrando o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser e qual vai ser .

Passo 3

No nosso caso, temos u = ln(x) Rightarrow du = 1x dx . É uma boa ideia escolher porque a derivada de é mais simples de trabalhar. Então:

Passo 4

Agora, o que sobra é dv = dx Rightarrow v = integral dx = x . Como estamos integrando apenas , podemos pensar em multiplicar por 1, ou seja:

Passo 5

Com integral ln(x) , dx = uv - integral v , du = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x dx , , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:

Passo 6

Simplificando a integral que ficou:
integral x cdot 1x dx = integral 1 , dx = x
Então, substituindo de volta:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x

Resposta

Portanto, está correta.

Exercícios relacionados