Verifique a convergência ou divergência das séries dadas. Se for convergente, encontre sua soma.
sumn=1^infty(1raizn-1raizn+1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty(1raizn - 1raizn+1)
Queremos verificar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam ao somarmos.

Passo 2

Vamos escrever os primeiros termos da série para identificar o padrão:
(1raiz1 - 1raiz2) + (1raiz2 - 1raiz3) + (1raiz3 - 1raiz4) + cdots
Vemos que aparece com sinal positivo e depois com sinal negativo, e o mesmo acontece com , e assim por diante. Isso é característico de uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 3

Vamos generalizar isso para n termos:
Sn = (1raiz1 - 1raiz2) + (1raiz2 - 1raiz3) + cdots + (1raizn - 1raizn+1)
Observamos que, ao somar todos esses termos, quase todos se cancelam, restando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
Sn = 1raiz1 - 1raizn+1 = 1 - 1raizn+1

Passo 4

Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos calcular o limite de limn to infty Sn = limn to infty (1 - 1raizn+1) quando limn to infty Sn = 1 - 0 = 1 tende ao infinito:
Sabemos que tende a 0 quando cresce sem limites. Portanto:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é igual a 1.

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