Verifique a convergência ou divergência das séries dadas. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
Queremos verificar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam ao somarmos.
Passo 2
Vamos escrever os primeiros termos da série para identificar o padrão:
Vemos que
aparece com sinal positivo e depois com sinal negativo, e o mesmo acontece com
, e assim por diante. Isso é característico de uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 3
Vamos generalizar isso para n termos:
Observamos que, ao somar todos esses termos, quase todos se cancelam, restando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
Passo 4
Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
cresce sem limites. Portanto:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é igual a 1.