Determine se a sequência
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar se a sequência
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de limite de sequências e a teoria de crescimento de funções. Vamos precisar entender como o logaritmo natural (
) se comporta comparado com
quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para determinar se a sequência
converge, a gente precisa calcular o limite dela quando
tende ao infinito:
Se esse limite existir e for um número finito, a sequência converge; se não, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento das duas funções no numerador e no denominador. Sabemos que
cresce sem limites quando
aumenta, mas
também cresce muito, e na verdade, cresce muito mais rápido que
. Isso significa que, apesar de ambos aumentarem, o denominador está “ganhando” muito mais espaço do que o numerador.
Passo 4
Para calcular o limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada do tipo
. A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente:
Agora, vemos que
tende a 0 quando
vai para o infinito.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 0.