Determine se a sequência (a_n)_{n ∈ N} converge ou diverge.
a_n = ln(n) / n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de limite de sequências e a teoria de crescimento de funções. Vamos precisar entender como o logaritmo natural ( ) se comporta comparado com quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para determinar se a sequência converge, a gente precisa calcular o limite dela quando tende ao infinito:
Se esse limite existir e for um número finito, a sequência converge; se não, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento das duas funções no numerador e no denominador. Sabemos que cresce sem limites quando aumenta, mas também cresce muito, e na verdade, cresce muito mais rápido que . Isso significa que, apesar de ambos aumentarem, o denominador está “ganhando” muito mais espaço do que o numerador.

Passo 4

Para calcular o limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada do tipo . A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente:
Agora, vemos que tende a 0 quando vai para o infinito.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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