Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para
e determine o raio de convergência.
(d)
;
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente encontrar uma série de potências pra
ao redor de 0 e determinar o raio de convergência. Isso envolve entender séries de potências, a série da função arco-tangente e como manipular essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função arco-tangente. Sabemos que:
Aqui,
é a variável dentro da função arco-tangente.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro da arco-tangente é
. Então, substituímos
por
na série:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter a série de
:
Passo 5
Então, a representação em série de potências de
é:
Passo 6
Agora, para encontrar o raio de convergência dessa série, usamos o fato que a série original da arco-tangente converge para
, ou seja,
. Como multiplicamos por
, a condição de convergência permanece a mesma:
Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de potências para
em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é 1.