Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para f(x) e determine o raio de convergência.
(d) f(x) = x^3 arctg(x^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente encontrar uma série de potências pra ao redor de 0 e determinar o raio de convergência. Isso envolve entender séries de potências, a série da função arco-tangente e como manipular essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função arco-tangente. Sabemos que:
Aqui, é a variável dentro da função arco-tangente.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da arco-tangente é . Então, substituímos por na série:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de :

Passo 5

Então, a representação em série de potências de é:

Passo 6

Agora, para encontrar o raio de convergência dessa série, usamos o fato que a série original da arco-tangente converge para , ou seja, . Como multiplicamos por , a condição de convergência permanece a mesma:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de potências para em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

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