Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
(e) sumn=1^+infty 2^n(x-2)^n(n+1)!;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=1^+infty 2^n(x-2)^n(n+1)!
O objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série e o intervalo de convergência . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série quando an = 2^n(x-2)^n(n+1)! tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Vamos chamar o termo geral da série de an+1an = 2^n+1(x-2)^n+1(n+2)! cdot (n+1)!2^n(x-2)^n = 2(x-2)n+2 :
Agora, vamos encontrar :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty | 2(x-2)n+2 | = 0 tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Como o raio de convergência é infinito, o intervalo de convergência abrange todos os números reais. Ou seja, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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