Encontre o raio e o intervalo de convergência da série.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série e o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Vamos chamar o termo geral da série de :
Agora, vamos encontrar :
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito.
Passo 4
Como o raio de convergência é infinito, o intervalo de convergência abrange todos os números reais. Ou seja, a série converge para qualquer valor de .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é (todos os números reais).