Sabendo que f(x) = -x para -L < x < L e f(x + 2L) = f(x) para x em R, encontre f(x) para:
(a) L < x < 2 L;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida no intervalo de a , ou seja, . Além disso, a função é periódica com período , o que significa que ela se repete a cada unidades. O conteúdo envolve funções periódicas e definições por partes. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como estender a definição da função para outros intervalos usando a periodicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função periódica. Se para todo , então é o período da função. No nosso caso, o período é , então a função se repete a cada .

Passo 3

Sabemos que para . Queremos encontrar a expressão de para o intervalo . Para isso, vamos usar a periodicidade da função.

Passo 4

Vamos considerar um valor no intervalo . Podemos escrever como , onde . Assim, estará no intervalo .

Passo 5

Usando a definição da função periódica, temos:
Como está entre e , sabemos que .

Passo 6

Substituindo na expressão acima, temos:

Resposta

Para , a função é .

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