Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência
é monótona ou não monótona. Para isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas da matemática, que são sequências que sempre crescem ou sempre diminuem. Vamos precisar analisar como essa sequência se comporta conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao termo anterior. Analogamente, é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao termo anterior. Se não seguir nenhuma dessas duas, então é não monótona.
Passo 3
Para verificar a monotonicidade da sequência
, vamos analisar a razão dos termos. Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Então, a sequência fica:
Passo 4
Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por
para simplificar:
À medida que
cresce,
tende a zero, então
também tende a zero. Portanto, o denominador da fração tende a
, e a sequência
tende a
.
Passo 5
Para determinar se a sequência é monótona, vamos analisar a diferença entre
e
:
Essa expressão é complicada para simplificar diretamente, então vamos utilizar o cálculo de derivadas para analisar o comportamento contínuo da função associada.
Passo 6
Consideremos a função contínua
para
. Vamos calcular a derivada
para verificar se a função está aumentando ou diminuindo:
Simplificando e analisando o sinal de
, constatamos que a derivada é negativa para
, o que indica que a função é decrescente.
Resposta
A sequência
é monótona decrescente.