Determine se a sequência
an=(-1)^nn
converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência an = (-1)^nn converge ou diverge. Isso envolve conceitos de sequências e limites, que são fundamentais no cálculo. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa sequência conforme n cresce cada vez mais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou diverge. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico à medida que n aumenta. Esse número é chamado de limite da sequência. Se a sequência não tende a nenhum número específico, dizemos que ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a sequência dada: an = (-1)^nn . Aqui, temos dois componentes principais:
  1. (-1)^n : Esse termo faz a sequência alternar entre positivo e negativo conforme n aumenta.
  2. 1n : Esse termo diminui à medida que n cresce, já que quanto maior o denominador, menor o valor da fração.

Passo 4

Vamos analisar cada parte:
  • O termo (-1)^n alterna o sinal da sequência: para n par, an é positivo; para n ímpar, é negativo.
  • O termo 1n tende a zero conforme n vai para o infinito.

Passo 5

Combinando os dois termos, percebemos que, embora a sequência continue alternando de sinal, a magnitude dos termos está diminuindo porque 1n está se aproximando de zero. Ou seja, os termos estão ficando cada vez menores em valor absoluto.

Passo 6

Para determinar o limite da sequência, aplicamos o conceito de limite:
limn to infty an = limn to infty (-1)^nn
Sabemos que limn to infty 1n = 0 e, apesar de (-1)^n alternar, o produto (-1)^nn também tende a zero, pois a parte que cresce (o numerador) na verdade está oscilando entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limites.

Resposta

A sequência an = (-1)^nn converge para 0.

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