Determine se a sequência
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de sequências e limites, que são fundamentais no cálculo. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa sequência conforme
cresce cada vez mais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou diverge. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico à medida que
aumenta. Esse número é chamado de limite da sequência. Se a sequência não tende a nenhum número específico, dizemos que ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a sequência dada:
. Aqui, temos dois componentes principais:
-
: Esse termo faz a sequência alternar entre positivo e negativo conforme aumenta. -
: Esse termo diminui à medida que cresce, já que quanto maior o denominador, menor o valor da fração.
Passo 4
Vamos analisar cada parte:
- O termo
alterna o sinal da sequência: para par, é positivo; para ímpar, é negativo. - O termo
tende a zero conforme vai para o infinito.
Passo 5
Combinando os dois termos, percebemos que, embora a sequência continue alternando de sinal, a magnitude dos termos está diminuindo porque
está se aproximando de zero. Ou seja, os termos estão ficando cada vez menores em valor absoluto.
Passo 6
Para determinar o limite da sequência, aplicamos o conceito de limite:
Sabemos que
e, apesar de
alternar, o produto
também tende a zero, pois a parte que cresce (o numerador) na verdade está oscilando entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limites.
Resposta
A sequência
converge para 0.