Determine se a sequência
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma sequência definida por
e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e um pouco de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência
. Aqui,
é o logaritmo natural de
, que cresce sem limites conforme
aumenta. Já o denominador
também cresce sem limites, mas queremos saber qual das duas cresce mais rápido para determinar o comportamento da sequência.
Passo 3
Para encontrar o limite da sequência quando
tende ao infinito, vamos calcular:
Esse limite nos dirá se a sequência está se aproximando de algum número específico (convergindo) ou se está indo para mais ou menos infinito (divergindo).
Passo 4
A gente pode usar a regra de L’Hôpital para resolver esse limite, porque tanto o numerador (
) quanto o denominador (
) tendem ao infinito quando
vai para o infinito, resultando em uma forma indeterminada
.
A regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 5
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 6
Agora, calculamos
. Sabemos que conforme
cresce,
fica cada vez menor, aproximando-se de 0.
Portanto:
Resposta
A sequência
converge para 0.