Determine se a sequência
an=ln nn
converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma sequência definida por an = ln nn e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência an = ln nn . Aqui, ln n é o logaritmo natural de n, que cresce sem limites conforme n aumenta. Já o denominador n também cresce sem limites, mas queremos saber qual das duas cresce mais rápido para determinar o comportamento da sequência.

Passo 3

Para encontrar o limite da sequência quando n tende ao infinito, vamos calcular:
limn to infty ln nn
Esse limite nos dirá se a sequência está se aproximando de algum número específico (convergindo) ou se está indo para mais ou menos infinito (divergindo).

Passo 4

A gente pode usar a regra de L’Hôpital para resolver esse limite, porque tanto o numerador ( ln n) quanto o denominador ( n) tendem ao infinito quando n vai para o infinito, resultando em uma forma indeterminada inftyinfty.
A regra de L’Hôpital diz que se limn to infty f(n)g(n) resulta em inftyinfty ou 00, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 5

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de ln n em relação a n é 1n.
  • Derivada de n em relação a n é 1.
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:
limn to infty ln nn = limn to infty 1n1 = limn to infty 1n

Passo 6

Agora, calculamos limn to infty 1n. Sabemos que conforme n cresce, 1n fica cada vez menor, aproximando-se de 0.
Portanto:
limn to infty 1n = 0

Resposta

A sequência an = ln nn converge para 0.

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