Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=1n

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos determinar se a sequência an = 1n é crescente, decrescente ou não monótona. Além disso, devemos verificar se a sequência é limitada e se é convergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências numéricas, como monotonicidade, limites e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, se an+1 > an para todo n . Vamos comparar an+1 com an :
an+1 = 1n+1 e an = 1n
Como n+1 > n , então 1n+1 < 1n . Isso significa que cada termo é menor que o anterior.

Passo 3

Como verificamos que an+1 < an para todo n , concluímos que a sequência é decrescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é um limite superior e outro que é um limite inferior para todos os seus termos.
Para an = 1n :
  • Limite superior: O maior termo ocorre quando n = 1 , ou seja, a1 = 1 . Portanto, a sequência é limitada acima por 1.
  • Limite inferior: Conforme n aumenta, 1n se aproxima de 0, mas nunca é negativo. Então, a sequência é limitada abaixo por 0.
Assim, a sequência é limitada.

Passo 5

Por fim, vamos determinar se a sequência é convergente. Uma sequência é convergente se existe um limite finito quando n tende ao infinito.
Calculando o limite:
limn to infty 1n = 0
Portanto, a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência an = 1n é decrescente, limitada e convergente com limite igual a 0.

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