Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos determinar se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona. Além disso, devemos verificar se a sequência é limitada e se é convergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências numéricas, como monotonicidade, limites e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, se
para todo
. Vamos comparar
com
:
Como
, então
. Isso significa que cada termo é menor que o anterior.
Passo 3
Como verificamos que
para todo
, concluímos que a sequência é decrescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é um limite superior e outro que é um limite inferior para todos os seus termos.
Para
:
- Limite superior: O maior termo ocorre quando
, ou seja, . Portanto, a sequência é limitada acima por 1. - Limite inferior: Conforme
aumenta, se aproxima de 0, mas nunca é negativo. Então, a sequência é limitada abaixo por 0.
Assim, a sequência é limitada.
Passo 5
Por fim, vamos determinar se a sequência é convergente. Uma sequência é convergente se existe um limite finito quando
tende ao infinito.
Calculando o limite:
Portanto, a sequência converge para 0.
Resposta
A sequência
é decrescente, limitada e convergente com limite igual a 0.