Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para decidir se ela é crescente, decrescente ou não monótona; se é limitada; e se é convergente. Vamos usar:
- Para monotonicidade, o sinal de
. - Para limitação, encontrar cotas inferiores e superiores.
- Para convergência, calcular
.
Passo 2
Calcular a diferença entre termos consecutivos:
Como
para todo
, concluímos que
, logo a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Buscar limites que contenham todos os
. Note que para todo
,
Por outro lado,
Portanto
mostrando que a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 4
Calcular o limite quando
:
Como existe limite finito, a sequência é convergente e seu limite é
.
Resposta
A sequência é estritamente crescente, limitada em
e converge para
.