Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=1-12^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 1 - 12^n,
e pede para decidir se ela é crescente, decrescente ou não monótona; se é limitada; e se é convergente. Vamos usar:
  • Para monotonicidade, o sinal de an+1-an.
  • Para limitação, encontrar cotas inferiores e superiores.
  • Para convergência, calcular limntoinftyan.

Passo 2

Calcular a diferença entre termos consecutivos:
an+1 - an = l(1 - 12^n+1r) - l(1 - 12^nr) = -12^n+1 + 12^n = 12^nl(1 - 12r) = 12^n+1
Como 12^n+1>0 para todo n, concluímos que an+1>an, logo a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Buscar limites que contenham todos os an. Note que para todo n>=1,
12^n>0 Longrightarrow an=1-12^n<1
Por outro lado,
12^n<=1 Longrightarrow an=1-12^n>=1-1=0
Portanto
0<= an<1,
mostrando que a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 4

Calcular o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan = limntoinftyl(1 - 12^nr) = 1 - limntoinfty12^n = 1 - 0 = 1
Como existe limite finito, a sequência é convergente e seu limite é 1.

Resposta

A sequência é estritamente crescente, limitada em 0<= an<1 e converge para 1.

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