Determine se a sequência converge ou diverge:
(cos (3 n)n^2)n in N

Passo 1

Vamos ver qual é o problema aqui: a gente precisa descobrir se a sequência (cos(3n)n^2) converge ou diverge. A matéria envolvida é análise de limites de sequências, especialmente usando propriedades de funções e limites. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno se comporta, o que acontece com n^2 quando n aumenta, e usar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador, cos(3n). Sabemos que a função cosseno está sempre limitada entre -1 e 1, ou seja, para qualquer n, -1 <= cos(3n) <= 1.

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador, que é n^2. À medida que n aumenta, n^2 também aumenta sem limites, ou seja, tende a infinito.

Passo 4

Juntando as duas informações, temos que o numerador está limitado, enquanto o denominador cresce indefinidamente. Quando temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador tende ao infinito, o valor da fração tende a zero.

Passo 5

Formalmente, podemos usar o fato de que se |an| <= 1n^2 e limn to infty 1n^2 = 0, então limn to infty an = 0.

Resposta

A sequência (cos(3n)n^2) converge para 0.

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