Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
Vamos ver qual é o problema aqui: a gente precisa descobrir se a sequência
converge ou diverge. A matéria envolvida é análise de limites de sequências, especialmente usando propriedades de funções e limites. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno se comporta, o que acontece com
quando
aumenta, e usar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador,
. Sabemos que a função cosseno está sempre limitada entre -1 e 1, ou seja, para qualquer
,
.
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador, que é
. À medida que
aumenta,
também aumenta sem limites, ou seja, tende a infinito.
Passo 4
Juntando as duas informações, temos que o numerador está limitado, enquanto o denominador cresce indefinidamente. Quando temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador tende ao infinito, o valor da fração tende a zero.
Passo 5
Formalmente, podemos usar o fato de que se
e
, então
.
Resposta
A sequência
converge para
.