Determine se a sequência converge ou diverge:
(2 n^2-3 n+13 n^3-2 n))n in N

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a sequência (2n^2 - 3n + 13n^3 - 2n)n in N converge ou diverge. Isso envolve entender o comportamento de uma sequência quando n fica muito grande. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e analisar os termos dominantes dos polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador, porque eles são os que mais influenciam o comportamento da sequência quando n cresce. No numerador 2n^2 - 3n + 1, o termo de maior grau é 2n^2. No denominador 3n^3 - 2n, o termo de maior grau é 3n^3.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração focando nesses termos dominantes. Podemos reescrever a sequência como:
2n^23n^3 = 23n
Aqui, cancelamos os termos de menor grau porque, para n muito grande, eles têm influência mínima.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite dessa expressão simplificada quando n tende ao infinito:
limn to infty 23n
À medida que n cresce, o denominador 3n também cresce sem limite, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.

Resposta

A sequência (2n^2 - 3n + 13n^3 - 2n) converge para 0.

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