Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Isso envolve entender o comportamento de uma sequência quando
fica muito grande. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e analisar os termos dominantes dos polinômios no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador, porque eles são os que mais influenciam o comportamento da sequência quando
cresce. No numerador
, o termo de maior grau é
. No denominador
, o termo de maior grau é
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração focando nesses termos dominantes. Podemos reescrever a sequência como:
Aqui, cancelamos os termos de menor grau porque, para
muito grande, eles têm influência mínima.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite dessa expressão simplificada quando
tende ao infinito:
À medida que
cresce, o denominador
também cresce sem limite, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.
Resposta
A sequência
converge para 0.