Verifique se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=1^+infty(n^2+2 n2 n^2+2 n-1)

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^+infty ( n^2+2n2n^2+2n-1 ). O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries numéricas e suas propriedades de convergência ou divergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste do Termo Geral e o Teste da Comparação para investigar o comportamento dos termos da série quando n cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor o comportamento dos termos quando n tende ao infinito. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau em n.
Dividindo o numerador e o denominador pelo maior expoente de n, que é n^2, temos:
n^2+2n2n^2+2n-1 = 1 + 2n2 + 2n - 1n^2

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando n tende ao infinito ( n to infty):
limn to infty 1 + 2n2 + 2n - 1n^2 = 1 + 02 + 0 - 0 = 12
Isso significa que, para valores grandes de n, os termos da série se aproximam de 12.

Passo 4

Segundo o Teste do Termo Geral, se o limite dos termos de uma série sum an não for zero, ou seja, limn to infty an neq 0, então a série diverge.
No nosso caso, limn to infty n^2+2n2n^2+2n-1 = 12 neq 0.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^+infty ( n^2+2n2n^2+2n-1 ) diverge.

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