Determine se a sequência converge ou diverge:
(4^n+15^n)n in N

Passo 1

Beleza, temos uma sequência definida por (4^n+15^n)n in N. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge para algum valor ou se ela diverge, ou seja, não tem limite. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o entendimento. A sequência é 4^n+15^n. Podemos reescrever isso como 4 cdot 4^n5^n, já que 4^n+1 = 4 cdot 4^n.

Passo 3

Agora, focamos na parte 4^n5^n. Isso pode ser escrito como (45)^n. Então, a sequência fica 4 cdot (45)^n.

Passo 4

Sabemos que, se temos uma sequência da forma a cdot r^n, onde |r| < 1, a sequência converge para 0 à medida que n cresce. No nosso caso, r = 45, que é menor que 1. Portanto, (45)^n tende a 0 quando n tende ao infinito.

Passo 5

Multiplicando esse limite por 4, temos 4 cdot 0 = 0. Então, a sequência inteira tende a 0 quando n fica bem grande.

Resposta

A sequência (4^n+15^n)n in N converge para 0.

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