Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, temos uma sequência definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge para algum valor ou se ela diverge, ou seja, não tem limite. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o entendimento. A sequência é
. Podemos reescrever isso como
, já que
.
Passo 3
Agora, focamos na parte
. Isso pode ser escrito como
. Então, a sequência fica
.
Passo 4
Sabemos que, se temos uma sequência da forma
, onde
, a sequência converge para 0 à medida que
cresce. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto,
tende a 0 quando
tende ao infinito.
Passo 5
Multiplicando esse limite por 4, temos
. Então, a sequência inteira tende a 0 quando
fica bem grande.
Resposta
A sequência
converge para 0.