Determine se a sequência converge ou diverge:
(3^n+22^n)n in N

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a sequência (3^n+22^n)n in N converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de sequences e séries, especificamente analisando o comportamento de sequência com potências exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar o crescimento das potências de 3 e 2 conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. A sequência é dada por:
3^n+22^n
Podemos reescrever 3^n+2 como 3^n cdot 3^2 . Portanto:
3^n+22^n = 3^n cdot 92^n = 9 cdot (32)^n

Passo 3

Agora, observamos que a sequência ficou na forma:
9 cdot (32)^n
Aqui, temos uma constante multiplicada por uma razão elevada à potência n . A razão é 32 , que é maior que 1.

Passo 4

Sabemos que se a razão r de uma sequência geométrica é maior que 1 ( r > 1 ), a sequência diverge para o infinito. Isso porque, conforme n aumenta, (32)^n cresce sem limite.

Passo 5

Aplicando essa regra à nossa sequência:
9 cdot (32)^n com 32 > 1
Concluímos que a sequência não converge para nenhum número finito, mas sim, diverge para o infinito.

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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