Determine se a sequência converge ou diverge.
ln nn^2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = ln nn^2,
O conteúdo aqui é análise de limite de sequência do tipo “função de n” e vamos precisar comparar o crescimento de ln n com o de n^2 ou então usar a regra de L’Hôpital em uma função equivalente.

Passo 2

Para decidir se an converge, avaliamos
limntoinfty ln nn^2
Como isso é uma forma infty/infty, podemos estender n para uma variável real x e aplicar L’Hôpital. Considere
L = limxtoinfty ln xx^2
Derivando numerador e denominador em relação a x, obtemos
ddx(ln x) = 1x, ddx(x^2) = 2x,
portanto
L = limxtoinfty 1/x2x = limxtoinfty 12x^2 = 0

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty ln nn^2 = 0

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