Determine se a sequência converge ou diverge.
(1+13 n)^n.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = l(1 + 13nr)^n
e verificar se ela converge ou diverge quando ntoinfty.
O conteúdo principal aqui é o limite fundamental que define a base do logaritmo natural: limites do tipo l(1+tfracxnr)^n.

Passo 2

Lembramos do teorema padrão de limites exponenciais: para qualquer constante x, vale
limntoinftyl(1+xnr)^n = e^x
Essa propriedade decorre do fato de que l(1+tfrac1nr)^ntoe.

Passo 3

No nosso caso temos
1 + 13n = 1 + xn com x = 13
Logo
an = l(1 + xnr)^n para x=13

Passo 4

Aplicando o limite padrão com x=tfrac13, obtemos
limntoinftyan = limntoinftyl(1 + 13nr)^n = e^1/3
Assim, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é e^1/3.

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