(a) Mostre que a função valor absoluto F(x)=|x| é contínua em toda parte.
(b) Demonstre que se f for uma funçāo contínua em um intervalo, entāo também of é |f|.
(c) A recíproca da afirmaçāo da parte (b) também é verdadeira? Em outras palavras, se |f| for contínua, segue que f também o é? Se for assim, demonstre isso. Caso contrário, encontre um contraexemplo.
69. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhā e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhā seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhā, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.

Passo 1

Resumindo a primeira parte, queremos (a) mostrar que a função F(x)=|x| é contínua em todo x0inR, (b) provar que se f é contínua num intervalo então |f| também é, e (c) investigar se a recíproca vale. Na segunda parte (exercício 69) vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que há um ponto no caminho onde o monge passa exatamente no mesmo horário nos dois dias.

Passo 2

Para (a), lembramos que
Como admite a definição por partes
cada ramo é uma função afim e, portanto, contínuo em seu domínio. Falta checar a continuidade em . Concluímos que é contínua em toda parte.

Passo 3

Para (b), note que |f| é a composição
|f| = |cdot|;circ;f
Sabemos que |cdot| é contínua (parte (a)) e que f é contínua por hipótese. A composição de funções contínuas é contínua, logo |f| é contínua.

Passo 4

Para (c), a pergunta é: se
Então , que é contínua, mas tem salto em e não é contínua ali. Logo a recíproca não vale.

Passo 5

No exercício 69, definimos um parâmetro de tempo t em horas após as 7 h da manhã e duas funções contínuas:
d1(t)=distância do monastério no primeiro dia, d2(t)=distância do monastério no segundo dia âéâé
No primeiro dia d1(0)=0 (parte baixa) e d1(12)=L (topo), onde L é o comprimento do caminho. No segundo dia d2(0)=L e d2(12)=0. Definimos
g(t)=d1(t)-d2(t)
Então
g(0)=0-L<0, g(12)=L-0>0
Como g é contínua em [0,12], o Teorema do Valor Intermediário garante existência de t^*in(0,12) com
g(t^*)=0Longrightarrow d1(t^*)=d2(t^*)
Isto significa que há um ponto no caminho em que o monge passa exatamente à mesma hora nos dois dias.

Resposta

(a) A função
faz não é contínua em .
  1. Definindo com e , o Teorema do Valor Intermediário dá tal que , isto é, o monge cruza o mesmo ponto exatamente na mesma hora nos dois dias.

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