O enunciado define a função é racional},\ x, &se é irracional. \end{cases}]
O objetivo é determinar os pontos em que é contínua, isto é, aqueles em que
Para isso, vamos usar a densidade de e de em e o critério de continuidade via limites.
Passo 2
Observe que tanto os racionais quanto os irracionais são densos em . Logo, dado qualquer ponto , podemos construir duas sequências e tais que
Passo 3
Suponha x0neq 0.
Então
g(rn)=0Longrightarrowlimntoinftyg(rn)=0,
enquanto
g(sn)=snLongrightarrowlimntoinftyg(sn)=x0neq 0
Como as duas sequências de valores de g convergem a limites diferentes, o limite limxto x0g(x) não existe ou não coincide com g(x0). Portanto g não é contínua em nenhum ponto x0neq 0.
Passo 4
Agora verifiquemos x0=0. Queremos mostrar que
limxto 0g(x)=0=g(0)
Dado varepsilon>0, escolha de<a=varepsilon. Se |x-0|<de<a, então:
Se x é racional, g(x)=0 e l|g(x)-0r|=0<varepsilon.
Se x é irracional, g(x)=x e l|g(x)-0r|=|x|<de<a=varepsilon.
Assim, para todo x com |x|<de<a temos l|g(x)-0r|<varepsilon. Logo