Para que valores de x a função g é contínua?
g(x)=ll 0 & se x é racional x & se x é irracional éé

Passo 1

O enunciado define a função é racional},\ x, &se é irracional. \end{cases}]
O objetivo é determinar os pontos em que é contínua, isto é, aqueles em que
Para isso, vamos usar a densidade de e de em e o critério de continuidade via limites.

Passo 2

Observe que tanto os racionais quanto os irracionais são densos em R. Logo, dado qualquer ponto x0inR, podemos construir duas sequências
,(rn)subsetQ e ,(sn)subsetRsetminusQ tais que
rn;xrightarrow[ntoinfty];x0, sn;xrightarrow[ntoinfty];x0

Passo 3

Suponha x0neq 0.
Então
g(rn)=0Longrightarrowlimntoinftyg(rn)=0,
enquanto
g(sn)=snLongrightarrowlimntoinftyg(sn)=x0neq 0
Como as duas sequências de valores de g convergem a limites diferentes, o limite limxto x0g(x) não existe ou não coincide com g(x0). Portanto g não é contínua em nenhum ponto x0neq 0.

Passo 4

Agora verifiquemos x0=0. Queremos mostrar que
limxto 0g(x)=0=g(0)
Dado varepsilon>0, escolha de<a=varepsilon. Se |x-0|<de<a, então:
  • Se x é racional, g(x)=0 e l|g(x)-0r|=0<varepsilon.
  • Se x é irracional, g(x)=x e l|g(x)-0r|=|x|<de<a=varepsilon.
Assim, para todo x com |x|<de<a temos l|g(x)-0r|<varepsilon. Logo
limxto0g(x)=0
e g é contínua em x=0.

Resposta

A função g é contínua somente em x=0.

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