Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
arctan n n=1^infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a sequência arctan n n=1^infty converge ou diverge e, se ela converge, encontrar o limite. Vamos usar conteúdos de limites de sequências e propriedades da função arco-tangente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge se, conforme os termos aumentam, eles se aproximam cada vez mais de um certo número, que chamamos de limite.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função arco-tangente, arctan n. A função arctan x é a inversa da tangente e tem algumas propriedades importantes:
  • Ela está definida para todos os números reais.
  • Conforme x vai para infinito positivo, arctan x se aproxima de pi2.
  • Isso significa que, à medida que n cresce, arctan n se aproxima de pi2.

Passo 4

Com isso em mente, vamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito:
limn to infty arctan n = pi2
Isso porque, como vimos, a função arco-tangente se aproxima de pi2 conforme seu argumento cresce sem limite.

Passo 5

Como o limite existe e é finito, podemos concluir que a sequência arctan n n=1^infty converge.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é pi2.

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