Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a sequência
converge ou diverge e, se ela converge, encontrar o limite. Vamos usar conteúdos de limites de sequências e propriedades da função arco-tangente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge se, conforme os termos aumentam, eles se aproximam cada vez mais de um certo número, que chamamos de limite.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função arco-tangente,
. A função
é a inversa da tangente e tem algumas propriedades importantes:
- Ela está definida para todos os números reais.
- Conforme
vai para infinito positivo, se aproxima de . - Isso significa que, à medida que
cresce, se aproxima de .
Passo 4
Com isso em mente, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Isso porque, como vimos, a função arco-tangente se aproxima de
conforme seu argumento cresce sem limite.
Passo 5
Como o limite existe e é finito, podemos concluir que a sequência
converge.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.