Suponha que uma lâmina ocupe uma região , que está à esquerda do eixo , delimitada pelos círculos e .
Calcule a massa de , se a função de densidade é .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma lâmina que ocupa uma região , que está à esquerda do eixo e é delimitada pelos círculos e . O problema quer saber qual é a massa dessa região , sabendo que a função de densidade é .
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas para calcular massa em regiões planas usando coordenadas polares. Vamos precisar entender como configurar a integral dupla nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Os círculos e têm raios e respectivamente. Como a região está à esquerda do eixo , estamos considerando apenas a parte onde .
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Em coordenadas polares, a expressão , então nossos círculos ficam e .
Passo 3
Em coordenadas polares, uma integral dupla para calcular a massa é dada por:
Aqui, em coordenadas polares é . Substituindo a função de densidade:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para . Como a região está à esquerda do eixo , isso corresponde aos ângulos de até .
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazemos uma substituição , então , ou seja, .
Substituindo:
Voltando para :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
M = integralpi2^3pi2 12 ( 1e - 1e^9 ) , dtheta
Como a expressão dentro da integral não depende de theta , a integral fica:
M = 12 ( 1e - 1e^9 ) cdot ( 3pi2 - pi2 ) = 12 ( 1e - 1e^9 ) cdot pi