Suponha que uma lâmina ocupe uma região D, que está à esquerda do eixo y, delimitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.
Calcule a massa de D, se a função de densidade é rho(x, y)=:e^x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma lâmina que ocupa uma região D , que está à esquerda do eixo y e é delimitada pelos círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 9 . O problema quer saber qual é a massa dessa região D , sabendo que a função de densidade é rho(x, y) = 1e^x^2+y^2 .
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas para calcular massa em regiões planas usando coordenadas polares. Vamos precisar entender como configurar a integral dupla nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D . Os círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 9 têm raios 1 e 3 respectivamente. Como a região está à esquerda do eixo y , estamos considerando apenas a parte onde x <= 0 .
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta . Em coordenadas polares, a expressão x^2 + y^2 = r^2 , então nossos círculos ficam r = 1 e r = 3 .

Passo 3

Em coordenadas polares, uma integral dupla para calcular a massa M é dada por:
M = integral duplaD rho(x, y) , dA
Aqui, dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta . Substituindo a função de densidade:
M = integralthetamin^thetamax integralr=1^r=3 1e^r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para theta . Como a região está à esquerda do eixo y , isso corresponde aos ângulos de theta = pi2 até theta = 3pi2 .
Então, nossa integral fica:
M = integralpi2^3pi2 integral1^3 re^r^2 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral1^3 re^r^2 , dr
Fazemos uma substituição u = r^2 , então du = 2r , dr , ou seja, du2 = r , dr .
Substituindo:
integral re^r^2 , dr = 12 integral 1e^u , du = 12 ( -1e^u ) + C
Voltando para r :
12 ( -1e^r^2 ) g|1^3 = 12 ( -1e^9 + 1e ) = 12 ( 1e - 1e^9 )

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
M = integralpi2^3pi2 12 ( 1e - 1e^9 ) , dtheta
Como a expressão dentro da integral não depende de theta , a integral fica:
M = 12 ( 1e - 1e^9 ) cdot ( 3pi2 - pi2 ) = 12 ( 1e - 1e^9 ) cdot pi

Resposta

A massa da região D é:
M = pi2 ( 1e - 1e^9 )

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