Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos apresenta uma sequência, que é basicamente uma lista de números seguindo uma regra específica. A sequência é dada por:
Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um certo número quando
cresce sem limite) ou diverge (se ela não se aproxima de nenhum número específico). Se ela convergir, também vamos achar qual é esse limite. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites de sequências e entender como analisar o comportamento das expressões do tipo
quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência:
Quando estamos interessados no limite dessa expressão para
tendendo ao infinito, queremos ver como o numerador e o denominador se comportam à medida que
cresce sem parar.
Passo 3
Observamos que tanto o numerador
quanto o denominador
crescem à medida que
aumenta. Para simplificar, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é o termo de maior ordem:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com a expressão
quando
tende ao infinito. Conforme
fica cada vez maior,
se aproxima de zero:
Passo 5
Substituindo esse resultado na nossa expressão anterior, temos:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.