Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
n3n+2 n=1^infty

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos apresenta uma sequência, que é basicamente uma lista de números seguindo uma regra específica. A sequência é dada por:
n3n+2 n=1^infty
Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um certo número quando n cresce sem limite) ou diverge (se ela não se aproxima de nenhum número específico). Se ela convergir, também vamos achar qual é esse limite. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites de sequências e entender como analisar o comportamento das expressões do tipo n3n+2 quando n fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência:
n3n + 2
Quando estamos interessados no limite dessa expressão para n tendendo ao infinito, queremos ver como o numerador e o denominador se comportam à medida que n cresce sem parar.

Passo 3

Observamos que tanto o numerador n quanto o denominador 3n + 2 crescem à medida que n aumenta. Para simplificar, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por n , que é o termo de maior ordem:
n3n + 2 = n div n(3n + 2) div n = 13 + 2n

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com a expressão 2n quando n tende ao infinito. Conforme n fica cada vez maior, 2n se aproxima de zero:
limn to infty 2n = 0

Passo 5

Substituindo esse resultado na nossa expressão anterior, temos:
limn to infty 13 + 2n = 13 + 0 = 13

Resposta

A sequência n3n+2 converge e o seu limite é 13.

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