Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
cos nn n=1^infty

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência cos nn n=1^infty converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador da nossa fração cos nn. Sabemos que a função cosseno, cos n, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Isso significa que o valor de cos n nunca será maior que 1 em valor absoluto.

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador n. À medida que n aumenta, o valor de n também aumenta sem limite, ou seja, n tende ao infinito. Portanto, o denominador está crescendo sem parar.

Passo 4

Quando temos uma sequência onde o numerador é limitado (no nosso caso, entre -1 e 1) e o denominador cresce sem limite, a fração inteira tende a zero. Isso acontece porque, mesmo que o numerador oscile, ele nunca cresce o suficiente para compensar o crescimento do denominador.

Passo 5

Para formalizar isso, podemos usar a propriedade de que se |an| <= bn para todo n, e se limlimitsn to infty bn = 0, então limlimitsn to infty an = 0 também. No nosso caso, |cos nn| <= 1n, e sabemos que limlimitsn to infty 1n = 0.

Resposta

A sequência cos nn n=1^infty converge, e o seu limite é 0.

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