Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador da nossa fração
. Sabemos que a função cosseno,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que o valor de
nunca será maior que 1 em valor absoluto.
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador
. À medida que
aumenta, o valor de
também aumenta sem limite, ou seja,
tende ao infinito. Portanto, o denominador está crescendo sem parar.
Passo 4
Quando temos uma sequência onde o numerador é limitado (no nosso caso, entre -1 e 1) e o denominador cresce sem limite, a fração inteira tende a zero. Isso acontece porque, mesmo que o numerador oscile, ele nunca cresce o suficiente para compensar o crescimento do denominador.
Passo 5
Para formalizar isso, podemos usar a propriedade de que se
para todo
, e se
, então
também. No nosso caso,
, e sabemos que
.
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.