Encontre a solução geral y(t) das seguintes equações diferenciais
y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo y^prime + 2y = 0. O conteúdo aqui é de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão y' + P(t)y = Q(t), onde P(t) = 2 e Q(t) = 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 2 dt = e^2t
Isso vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^2t y' + 2e^2t y = 0
Isso transforma a equação em:
ddt(e^2t y) = 0
porque a derivada do produto e^2t y é exatamente e^2t y' + 2e^2t y.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(e^2t y) dt = integral 0 , dt
O que resulta em:
e^2t y = C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y(t) dividindo ambos os lados por e^2t:
y(t) = C e^-2t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y(t) = C e^-2t, onde C é uma constante.

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