Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
an=n (raiz1+1n-1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = nl(raiz1+tfrac1n - 1r)
Isso faz parte de limites de sequências, em que aparece uma indeterminação do tipo inftycdot0. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização, que é um truque clássico para eliminar a raiz do numerador.

Passo 2

Racionalizamos o fator raiz1+tfrac1n - 1 multiplicando numerador e denominador pelo seu conjugado raiz1+tfrac1n + 1:
an = nl(raiz1+tfrac1n - 1r) = n cdot l(raiz1+tfrac1n - 1r)l(raiz1+tfrac1n + 1r) raiz1+tfrac1n + 1
No numerador, usamos ,(A-B)(A+B)=A^2-B^2!:
l(raiz1+tfrac1nr)^2 - 1^2 = l(1+tfrac1nr) - 1 = tfrac1n
Logo
an = n cdot tfrac1nraiz1+tfrac1n + 1 = ncdot tfrac1nraiz1+tfrac1n + 1 = 1raiz1+tfrac1n + 1

Passo 3

Agora que a expressão ficou livre de indeterminação, calculamos o limite quando ntoinfty. Como
limntoinftyraiz1+tfrac1n = raiz1+0 = 1,
segue
limntoinftyan = limntoinfty1raiz1+tfrac1n + 1 = 11 + 1 = tfrac12

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = tfrac12

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