Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
an=n^1raizn

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n^1raizn
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite de sequência exponencial, que vamos resolver tomando logaritmo e usando limites conhecidos (ou regra de L’Hôpital).

Passo 2

Para simplificar o limite, definimos L=limntoinftyan e consideramos o logaritmo natural:
ln(an) = 1raiznln(n) = ln(n)raizn
Se conseguirmos limntoinftyln(an), então obteremos L pela exponencial.

Passo 3

Avaliamo-s agora
limntoinftyln(n)raizn
Como ln(n) cresce mais devagar que qualquer potência de n, esse quociente tende a 0. Alternativamente, aplicando a regra de L’Hôpital considerando xtoinfty,
limxtoinftyln(x)raizx =limxtoinftyddxln(x)ddxraizx =limxtoinftytfrac1xtfrac12raizx =limxtoinfty2raizx =0
Logo,
limntoinftyln(an) = 0

Passo 4

Como ln(an)to 0, temos
an = e^ln(an) longrightarrow e^0 = 1
Portanto, a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn^1raizn=1

Exercícios relacionados