Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite de sequência exponencial, que vamos resolver tomando logaritmo e usando limites conhecidos (ou regra de L’Hôpital).
Passo 2
Para simplificar o limite, definimos
e consideramos o logaritmo natural:
Se conseguirmos
, então obteremos
pela exponencial.
Passo 3
Avaliamo-s agora
Como
cresce mais devagar que qualquer potência de
, esse quociente tende a
. Alternativamente, aplicando a regra de L’Hôpital considerando
,
Logo,
Passo 4
Como
, temos
Portanto, a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e