Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
an=(1-1n)^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = l(1 - tfrac1nr)^n
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar o seu limite. O conteúdo fundamental aqui é limite de sequência do tipo exponencial, usando a transformação logarítmica e o limite clássico (1+x)^1/xto e.

Passo 2

Para facilitar o cálculo do limite, vamos definir
bn = lnl(anr)
Como o logaritmo natural é contínuo e estritamente crescente, estudar limntoinftybn nos permite obter limntoinftyan = expl(lim bnr).

Passo 3

Reescrevendo bn em função de n, temos
bn = lnl[l(1 - tfrac1nr)^nr] = n,lnl(1 - tfrac1nr)

Passo 4

Para calcular limntoinftybn, note que temos a forma ``0/0'' se escrevermos
bn = lnl(1 - tfrac1nr)tfrac1n
Usando o Teorema de l’Hôpital (ou a série de Taylor de ln(1+x)), obtemos
limntoinftybn = limxto0ln(1 - x)x com x=tfrac1n = -1

Passo 5

Pelo teorema da continuidade do exponencial, concluímos
limntoinftyan = limntoinftye^bn = e^,-1 = 1e

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 1e

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