Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar o seu limite. O conteúdo fundamental aqui é limite de sequência do tipo exponencial, usando a transformação logarítmica e o limite clássico
.
Passo 2
Para facilitar o cálculo do limite, vamos definir
Como o logaritmo natural é contínuo e estritamente crescente, estudar
nos permite obter
.
Passo 3
Reescrevendo
em função de
, temos
Passo 4
Para calcular
, note que temos a forma
se escrevermos
Usando o Teorema de l’Hôpital (ou a série de Taylor de
), obtemos
Passo 5
Pelo teorema da continuidade do exponencial, concluímos
Resposta
A sequência converge e