Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
an=n^22 n-1-n^22 n+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an=n^22n-1-n^22n+1
e determinar se ela converge ou diverge; em caso de convergência, encontrar o seu limite quando ntoinfty. O conteúdo principal é cálculo de limite de sequência pelo uso de manipulações algébricas e identificação do termo dominante.

Passo 2

Para simplificar an, colocamos em um único quociente:
an =n^22n-1-n^22n+1 =n^2l((2n+1)-(2n-1)r)(2n-1)(2n+1) =2n^24n^2-1

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de
2n^24n^2-1
quando ntoinfty. Fatorando n^2 do denominador,
2n^24n^2-1 =2n^24n^2l(1-tfrac14n^2r) =12,11-tfrac14n^2
Como tfrac14n^2to0, segue que a fração tende a tfrac12.

Passo 4

Concluímos que a sequência an converge e que
limntoinftyan=12

Resposta

A sequência converge e seu limite é tfrac12.

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