( 2,0 pontos) Calcule a integral usando substituição trigonométrica:
integral piraiz8-2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral piraiz8-2x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição para integrar expressões da forma integral 1/raiza^2-x^2,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2sintheta, dx = 2costheta,dtheta
Então
8 - 2x^2 = 8 - 2cdot4sin^2theta = 8(1-sin^2theta) = 8cos^2theta,
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raiz8-2x^2 = raiz8cos^2theta = 2raiz2,costheta

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral piraiz8-2x^2,dx = integral pi2raiz2,costheta,(2costheta,dtheta) = piraiz2integral dtheta = piraiz2,theta + C

Passo 4

Volta à variável x. Da substituição x=2sintheta segue
theta = arcsin!l(tfracx2r)
Portanto a primitiva é
piraiz2arcsin!l(tfracx2r)+C

Resposta

piraiz2arcsin!l(tfracx2r)+C

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