Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache seu limite.
an=2^-n sin n

Passo 1

O enunciado dá a sequência an=2^-nsin n e pede para determinar se ela converge ou diverge; em caso de convergência, achar seu limite. O conteúdo é limite de sequência, usando que funções limitadas multiplicadas por termos que vão a zero tendem a zero (Teorema do Confronto).

Passo 2

Sabemos que a função seno é sempre limitada, ou seja, para todo inteiro n vale
-1 <= sin n <= 1
Como 2^-n>0 para todo n, multiplicamos a desigualdade anterior por 2^-n e obtemos
-2^-n <= 2^-nsin n <= 2^-n

Passo 3

É conhecido que a sequência geométrica de razão tfrac12 tende a zero:
limntoinfty2^-n=0
Pelo Teorema do Confronto, como os “estouros” superior e inferior pm2^-n convergem para zero, a sequência central 2^-nsin n também converge para zero.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 0

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