1. (2 pt)Calcule a integral dupla
    (a)
    integralR integral x e^y d x d y, onde R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= x
    (b)
    integralR integral cos (x2) senydxdy, onde R é o triângulo de vértices (0,0),(pi, pi2) e (0, pi2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais duplas em regiões planas. O conteúdo principal é integração iterada (integral dupla). Vamos desenrolar uma de cada vez, definindo bem a região de integração e escolhendo a ordem que facilite o cálculo.

Passo 2

Para o item (a), a região R está dada por 0≤x≤1 e x²≤y≤x. Isso significa que, para cada x em [0,1], y varia de x² até x. Assim a integral fica
integralx=0^1integraly=x^2^x x e^y,dy,dx Primeiro integramos em y, tratando x como constante.

Passo 3

A integral interna em y é
integraly=x^2^x x e^y,dy = xl[e^yr]y=x^2^y=x = xl(e^x-e^x^2r)
Agora integramos em x:
integral0^1 x e^x,dx - integral0^1 x e^x^2,dx
Para a primeira, usamos integração por partes com u=x, dv=e^{x}dx, obtendo
integral0^1 x e^x,dx = [(x-1)e^x]0^1 = 1
Para a segunda, fazemos a substituição u=x^2 ⇒ du=2x dx:
integral0^1 x e^x^2,dx = 12 integral0^1 e^u,du = 12(e-1)
Subtraindo, o resultado do item (a) é
1 - 12(e-1) = 3-e2

Passo 4

Para o item (b), R é o triângulo de vértices (0,0), (π,π/2) e (0,π/2). A reta que une (0,0) a (π,π/2) é y=x/2. É mais fácil integrar na ordem dx dy: y varia de 0 a π/2 e, para cada y, x vai de 0 até 2y. Assim a integral fica
integraly=0^pi/2integralx=0^2y cosl(tfracx2r)sin y,dx,dy

Passo 5

Integral interna em x:
integral0^2y cosl(tfracx2r)dx = 2l[sinl(tfracx2r)r]0^2y = 2sin y
Multiplicando por sin y e integrando em y:
integral0^pi/2 2sin ycdotsin y,dy = 2integral0^pi/2 sin^2y,dy = 2integral0^pi/2 1-cos2y2,dy = integral0^pi/2(1-cos2y),dy
Isso dá
[y - tfrac12sin2y]0^pi/2 = pi2

Resposta

(a) tfrac3 - e2; (b) tfracpi2.

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