- (2 pt)Calcule a integral dupla
(a)
, onde
(b)
, onde
é o triângulo de vértices
e
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais duplas em regiões planas. O conteúdo principal é integração iterada (integral dupla). Vamos desenrolar uma de cada vez, definindo bem a região de integração e escolhendo a ordem que facilite o cálculo.
Passo 2
Para o item (a), a região R está dada por 0≤x≤1 e x²≤y≤x. Isso significa que, para cada x em [0,1], y varia de x² até x. Assim a integral fica
Passo 3
A integral interna em y é
Agora integramos em x:
Para a primeira, usamos integração por partes com u=x, dv=e^{x}dx, obtendo
Para a segunda, fazemos a substituição u=x^2 ⇒ du=2x dx:
Subtraindo, o resultado do item (a) é
Passo 4
Para o item (b), R é o triângulo de vértices (0,0), (π,π/2) e (0,π/2). A reta que une (0,0) a (π,π/2) é y=x/2. É mais fácil integrar na ordem dx dy: y varia de 0 a π/2 e, para cada y, x vai de 0 até 2y. Assim a integral fica
Passo 5
Integral interna em x:
Multiplicando por sin y e integrando em y:
Isso dá
Resposta
(a)
; (b)
.