( 2,0 pontos) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da seguinte função:
F(x)=integrale^x^2^e^x cos ^2 t d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=integrale^x^2^e^x cos^2t,dt
Isso envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) combinado com a regra da cadeia, já que os limites de integração dependem de x.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites variáveis diz que, se
G(x)=integrala(x)^b(x) f(t),dt,
então
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

No nosso caso temos
a(x)=e^x^2, b(x)=e^x, f(t)=cos^2t
Calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=ddxe^x^2=2x,e^x^2, b'(x)=ddxe^x=e^x

Passo 4

Aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
F'(x) =cos^2l(b(x)r),b'(x) -cos^2l(a(x)r),a'(x) =cos^2l(e^xr),e^x -cos^2l(e^x^2r),(2x,e^x^2)

Resposta

F'(x)=e^xcos^2l(e^xr);-;2x,e^x^2cos^2l(e^x^2r)

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