Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite. Se divergir, justifique:
(b) an=7^n3^n+1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência an = 7^n3^n+1 e precisamos descobrir se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando n cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Para isso, vamos usar conceitos de sequências geométricas e analisar os expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Podemos reescrever an = 7^n3^n+1 de uma forma mais fácil de trabalhar. Nota que 3^n+1 = 3^n times 3 , então:
an = 7^n3^n times 3 = 7^n3^n times 13

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais. Dividindo as potências com a mesma base, temos:
7^n3^n = ( 73 )^n
Então, a sequência fica:
an = ( 73 )^n times 13

Passo 4

Observamos que 73 é maior que 1 ( 73 approx 2,333 ). Em sequências geométricas, se a razão da sequência (neste caso, 73 ) for maior que 1, a sequência tende ao infinito conforme n aumenta.

Passo 5

Portanto, à medida que n cresce, ( 73 )^n cresce sem limite, e multiplicar por 13 não muda esse comportamento. Isso significa que an não se aproxima de nenhum número finito.

Resposta

A sequência diverge, pois an tende ao infinito quando n cresce.

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