Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
(a) sumn=1^infty 8(12)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente dizer se a série sumn=1^infty 8(12)^n-1 converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão. No nosso caso, a série é sumn=1^infty 8(12)^n-1. Podemos reescrever isso para encaixar na fórmula padrão:
sumn=1^infty 8(12)^n-1 = 8 sumn=1^infty (12)^n-1
Perceba que podemos começar a somatória a partir de n=0 sem mudar a série:
8 sumn=0^infty (12)^n
Agora, está no formato de uma série geométrica onde a = 8 e r = 12.

Passo 3

Sabendo que é uma série geométrica, vamos lembrar que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Se isso acontecer, a soma da série é dada por:
S = a1 - r
No nosso caso, r = 12, que é menor que 1, então a série converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula mencionada:
S = a1 - r = 81 - 12 = 812 = 8 times 2 = 16

Resposta

A série sumn=1^infty 8(12)^n-1 converge e a sua soma é 16.

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