Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente dizer se a série
converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. No nosso caso, a série é
. Podemos reescrever isso para encaixar na fórmula padrão:
Perceba que podemos começar a somatória a partir de
sem mudar a série:
Agora, está no formato de uma série geométrica onde
e
.
Passo 3
Sabendo que é uma série geométrica, vamos lembrar que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Se isso acontecer, a soma da série é dada por:
No nosso caso,
, que é menor que 1, então a série converge.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula mencionada:
Resposta
A série
converge e a sua soma é 16.