Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
an=3+(-1)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se a sequência an = 3 + (-1)^nn^2 converge ou diverge. Se convergir, precisamos achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, que são fundamentais no estudo de cálculo. Vamos precisar entender como o comportamento do numerador e do denominador muda conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador 3 + (-1)^n quando n aumenta. O termo (-1)^n alterna entre -1 e 1 conforme n é par ou ímpar:
  • Se n é par: (-1)^n = 1 , então 3 + 1 = 4
  • Se n é ímpar: (-1)^n = -1 , então 3 - 1 = 2
Assim, o numerador oscila entre 2 e 4, ou seja, ele fica limitado e não cresce sem limite.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador n^2 . Conforme n fica maior, n^2 cresce de forma muito rápida, tendendo ao infinito.

Passo 4

A sequência an é uma fração onde o numerador fica entre 2 e 4, enquanto o denominador cresce sem limite. Quando temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador tende ao infinito, a fração inteira tende a zero.

Passo 5

Formalizando isso, podemos escrever:
limn to infty an = limn to infty 3 + (-1)^nn^2 = 0
Porque o numerador não cresce para o infinito, mas o denominador sim, fazendo com que a fração toda diminua para zero.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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