Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, precisamos achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, que são fundamentais no estudo de cálculo. Vamos precisar entender como o comportamento do numerador e do denominador muda conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador
quando
aumenta. O termo
alterna entre -1 e 1 conforme
é par ou ímpar:
- Se
é par: , então - Se
é ímpar: , então
Assim, o numerador oscila entre 2 e 4, ou seja, ele fica limitado e não cresce sem limite.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Conforme
fica maior,
cresce de forma muito rápida, tendendo ao infinito.
Passo 4
A sequência
é uma fração onde o numerador fica entre 2 e 4, enquanto o denominador cresce sem limite. Quando temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador tende ao infinito, a fração inteira tende a zero.
Passo 5
Formalizando isso, podemos escrever:
Porque o numerador não cresce para o infinito, mas o denominador sim, fazendo com que a fração toda diminua para zero.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 0.